La balle de fusil

Application avancée des intégrales

La vitesse initiale d’une balle de fusil est typiquement de l’ordre de 700 m/s. Ca va très vite. Mais ça ne veut pas dire que cette balle aura cette même vitesse lorsqu’elle atteindra sa cible. En effet, entre le canon et la cible, la balle doit surmonter une force qui la ralentit.

Cette force est la force de traînée .

On définira :

· : la masse volumique du fluide que la balle traverse

· : la surface frontale de la balle (le diamètre d’une balle est d’environ 13 mm)

· : le coefficient de traînée d’une balle (typiquement, autour de 0.3)

Donc, établissons d’abord la problématique :

Une balle de fusil est tirée. Sa vitesse initiale est de 700 m/s. Etablir sa vitesse et la distance parcourue après un temps en prenant en compte la force de traînée.

Ensuite, étudions les forces en présence :

A l’horizontale, il n’y a qu’une seule force : la traînée. La situation est dynamique (aucune force ne vient équilibrer la traînée), et c’est la deuxième loi de Newton qui s’applique ; la traînée va dans la direction opposée au mouvement, elle est donc négative :

Comme l’accélération est la dérivée de la vitesse, on réécrit l’équation :

Pour faciliter la lecture, on rassemble la partie constante dans une seule constante :

On peut maintenant séparer les variables : tout ce qui concerne la vitesse à gauche, le reste à droite.

Et on intègre les deux côtés, de la vitesse initiale à une certaine vitesse finale à gauche, d’un temps 0 à un certain temps à droite :

Il ne reste alors plus qu’à résoudre pour la vitesse finale :

Avec les données mentionnées au début, on peut tracer une courbe pour un intervalle de temps. On peut voir que dès la quatrième seconde après le tir, la vitesse de la balle passe sous les 200 m/s. C’est encore très rapide, mais ce qui serait intéressant est de voir à quelle distance la balle est après quatre secondes de vol.

Nous savons que la vitesse est la dérivée de position par rapport au temps. On peut donc réécrire notre expression :

On sépare les variables : la position au côté gauche, le reste au côté droit :

Pour pouvoir prendre l’intégrale au côté droit, il va falloir opérer une substitution sur le terme dans le dénominateur de la fraction qui contient la variable de temps :

On opère la substitution et on simplifie :

On prend la primitive aux deux côtés :

On resubstitue, et on applique les limites.

On peut faire de cette fonction une seconde courbe qui décrit la position en fonction du temps.

Tout à l’heure, on avait déterminé que la balle n’allait plus qu’à 200 m/s après 4 secondes. Ici, on voit qu’elle a quand même parcouru presque 1500 mètres.